Continuité - Spécialité

Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 1 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variation.

Soit \(f\) une fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -19, -17, -1, 17, "+\\infty"], "variations_values": [-8, -6, -7, -1, -3, 0], "variations": ["+", "-", "+", "-", "+"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=1\).

Exercice 2 : Application du théorème des valeurs intermédiaire

Soit la fonction \( f:x\mapsto x^{4} -8x^{3} -18x^{2} + 216x + 7 \)
On note \( f' \) la fonction dérivée de la fonction \( f \).

Donner l'expression de \( f' \) sous la forme \( (ax^2 + b)\times(cx + d) \) avec \( a, b, c \text{ et } d \) des entiers.

Après avoir étudié la variation de la fonction \( f \), et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, donner le nombre d'image(s) de \( f \) de valeur \( -506 \) sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 3 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variations (difficile).

Soit \(f\) un fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -11, 3, 11, 16, "+\\infty"], "variations_values": ["- \\pi ", "-2\\pi ", 0, -5, -1, -3], "variations": ["-", "+", "-", "+", "-"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=\dfrac{-6\pi }{7}\).

Exercice 4 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation de type f(x) = k à l'aide d'un tableau de variations

Le tableau de variations d'une fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left[-7; 3\right]\) est donné ci-dessous :

{"n_intervals": 3, "edges": [-7, -4, -3, 3], "variations_values": [-10, -11, -7, -11], "variations": ["-", "+", "-"]}

Grâce au tableau de variations, déterminer le nombre de solutions dans \(\left[-7; 3\right]\) pour les équations suivantes :
\(f(x) = -11\)

\(f(x) = -12\)

\(f(x) = -13\)

\(f(x) = -7\)

Exercice 5 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variation.

Soit \(f\) une fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -19, -17, -1, 17, "+\\infty"], "variations_values": [-8, -6, -7, -1, -3, 0], "variations": ["+", "-", "+", "-", "+"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=1\).

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